Đáp án bài toán ‘Thách thức toán học quốc tế Paul Erdős’

Chủ đề:

Tám vận động viên bơi lội tranh tài trong một bể bơi 8 làn được đánh số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Kết quả thi đấu được biết như sau:

i) Không ai về đích ở vị trí được đánh số giống như làn đường của mình và không có ai về đích cùng lúc.

ii) Vận động viên ở làn chẵn về đích ở vị trí chẵn, vận động viên ở làn lẻ về đích ở vị trí lẻ.

Hỏi có bao nhiêu khả năng về đích khác nhau cho tám vận động viên về đích.

Trả lời:

Xét bốn vận động viên về đích ban đầu ở các vị trí lẻ 1, 3, 5, 7 có số thứ tự là hoán vị của tập hợp (1, 3, 5, 7) với các số chỉ vị trí xuất phát. và các số đích khác nhau. Khi đó có 3 cách chọn vị trí số 1 sau khác với vị trí số 1 đầu tiên.

Với mỗi cách chọn vị trí số 1, luôn có 3 cách chọn ba số 3, 5, 7 sau khác với vị trí ban đầu của nó, ví dụ vị trí số 1 đứng ở vị trí thứ hai thì ta có bộ ba số. là (3, 1, 7, 5); (5, 1, 7, 3); (7, 1, 3, 5). Như vậy, số khả năng để bốn vận động viên về đích ở các vị trí lẻ 1, 3, 5, 7 ban đầu có số thứ tự là một hoán vị của bộ số (1, 3, 5, 7) với các số chỉ hiệu giữa vị trí xuất phát và số về đích là 3 x 3 = 9 (cách).

Tương tự, ta có số khả năng để bốn vận động viên về đích lúc đầu ở các vị trí chẵn là 2, 4, 6, 8 có số thứ tự là một hoán vị của tập hợp các số (2, 4, 6, 8) với hiệu giữa số vị trí xuất phát và số vị trí kết thúc là 3 x 3 = 9 (cách).

Vậy số cách về đích của tám người chạy là: 9 x 9 = 81 (cách).

Trần Phương